На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки M, P, K, H соответственно так, что AM:MB=3:5, BP:PC=1:3, CK:KD=4:5, DH:HA=1:8. Найдите отношение площади шестиугольника MBPKDH к площади четырёхугольника ABCD.

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки M, P, K, H соответственно так, что AM:MB=3:5, BP:PC=1:3, CK:KD=4:5, DH:HA=1:8. Найдите отношение площади шестиугольника MBPKDH к площади четырёхугольника ABCD.

07-08-2019 09:39 Просмотры: 36
Ответы (1)
Зофия Калачникова
+2
2019-08-07 14:38:54

Заметим, что S(ABCD) = S(MBPKDH) + S(AMH) + S(PCK) Найдём отношение S(AMH) к S(ABD). Эти два треугольника имеют общий угол A, соответственно, тогда  S(AMH) = S(ABD) * AM/AB * AH/AD = S(ABD) * 3/(3+5) * 8/(8+1) = S(ABD) * 3/9 = S(ABD) / 3 Найдём отношение S(PCK) к S(BCD). Эти два треугольника имеют общий угол C, соответственно, тогда  S(PCK) = S(BCD) * CP/CB * CK/CD = S(BCD) * 3/(3+1) * 4/(4+5) = S(BCD) * 3/9 = S(BCD) / 3 Тогда S(PCK) + S(AMH) = S(ABD)/3 + S(BCD)/3 = (S(ABD) + S(BCD)) / 3 = S(ABCD) / 3 Итого, S(MBPKDH)  = S(ABCD) - S(AMH) - S(PCK) = S(ABCD) - (S(AMH) +S(PCK)) = S(ABCD) - S(ABCD) / 3 = 2/3 * S(ABCD) Тогда S(MBPKDH) / S(ABCD) = 2/3 Ответ: 2/3